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金敏熙:什么是对称?

金敏熙:什么是对称?

  原标题:什么是对称?

  作者罗伯特·库尔曼 ( Robert J. Coolman )

  翻译高斌

  校对雨遇

  在几何学中,如果一个物体经过一个变换(transformation),例如反射或者旋转,仍能和以前看起来一样,我们就称这个物体具有对称性(symmetry)。对称性是所有图案背后都会表现出的基本数学原理,它对于艺术(用于建筑、陶器、绗缝(布艺)、地毯制造)、数学(涉及几何、群论和线性代数)、生物学(有机体的形状)、化学(分子形状和晶体结构)和物理学(对称守恒量)都是非常重要的。“symmetry”一词是一个十六世纪的拉丁词语,由希腊语“syn-”(一起)和“metron”(度量)派生而来的。

  对称的类型

  反射类(Reflective)

  一般来讲,对称通常指的是镜面对称(mirror symmetry)或称为反射对称(reflective symmetry),即一个物体可以被一条直线(二维时)或一个平面(三维时)分成彼此镜像的两半,例如等腰三角形和人脸就分别是一个二维和三维对称图形的例子。数学上来讲,一个物体表现出镜面对称性是指“在反射下保持不变”,也就是在某种特定方式下反射物体并不会改变它的外观。

  Figure 1 等腰三角形和蝴蝶是具有反射对称性的例子。二维物体有一条对称线,三维物体有一个对称面,它们在反射下都是不变的。

  在生物学中,反射对称性通常被称为双侧对称性(bilateral symmetry),这些例子很容易在哺乳动物、爬行动物、鸟类和鱼类中找到。

  旋转类(Rotational)

  生物学中另一种常见的对称形式是径向对称(radial symmetry),在花类和许多海洋生物中我们都可以发现它,例如海葵、海星和水母。在数学上,这样的物体因为“在旋转下保持不变”而被描述为能够表现出旋转对称性(rotational symmetry),它们可以通过一个点(二维时)或一个轴(三维时)旋转某些量而保持不变。

  Figure 2 阴阳符号和风车是具有旋转对称性的例子。二维物体有一个对称中心,三维物体有一个对称轴,它们在旋转下是不变的。

  平移类(Translational)

  想象一下,如果我们把所有方向都延伸到无穷远,一个二维或三维图形“在平移下保持不变”,我们就称它具有平移对称性(translational symmetry)。所有的棋盘花纹、大多数攀爬架以及地毯和壁纸的图案都具有平移对称性。

  Figure 3 壁纸的图案和攀爬架是具有平移对称性的例子,如果把所有方向都延伸到无穷远,那它们在平移下是不变的。

  其他形式的对称

  尽管一些例子说明物体可以具有不止一种对称性(例如六角星具有六条反射对称线和一个六重旋转不变点),但是有一些物体和图案只在两种变换同时进行的条件下保持不变。

  瑕旋转(Improper Rotation)=反射+旋转

  一个带有定向边缘的五角反棱柱(pentagonal antiprism)在瑕旋转下保持不变(在下面的例子中,水平旋转36°,再沿着中心水平面面反射)。

  滑移反射(Glide Reflection)=平移+反射

  如果我们延伸任意方向至无穷远,则下图中的脚印图案是滑移反射不变的(平移加反射)。

  螺旋旋转(Screw Rotation)=平移+旋转

  同样的,如果我们延伸任意方向至无穷远,则下图中的一个由四面体构成的螺旋结构是螺旋旋转不变的。(平移加一个131.8°的旋转)

  分类物体和图案

  数学家和晶体学家们根据使物体保持不变的各种变换方式来对物体和图案的对称性进行分类。一个二维或三维物体的“点群(point group)”是指能使物体在反射和旋转(三维时,瑕旋转)变换下保持不变的所有变换方式全体。当一个物体使用一个主题图案时,我们可以很容易地确定出它的一个晶体学点群(crystallographic point group):在二维中,有10种(下图);在三维中,它们有32种。

  Figure 4 二维中的十种晶体学点群

  上图中的通用记号叫作Schoenflies记号,来自于德国数学家Arthur Moritz Schoenflies。

  “C”代表“cyclic(循环)”。这些对象都有旋转对称性,但是没有反射对称性。下标数字代表具有几重旋转对称性,例如C2表示两重旋转对称性。所有的循环都有反向旋转的镜像。

  “D”代表“dihedral(二面角)”。这些对象同时具有反射和旋转对称性。下标数字表示它有几重旋转对称性,也就同时意味着有几条反射对称线。

  晶格(Lattices)

  晶格是空间中点的一种重复图案,其中的物体可以被重复(更精确来讲,指平移,滑移反射或者螺旋旋转)。在一维时只有1种晶格,二维时有5种,三维时有14种。

  通过二维图案(分配给它10种晶体学点群中的一种)沿一维或二维晶格重复,我们可以得到一个图案。当一个二维物体沿一维晶格重复时,我们可以得到7种饰带群(frieze group)中的一种,当沿三维晶格重复时,可以得到17种壁纸群(wallpaper group)的一种。

  三维图案更为复杂,并且很少在晶体以外被发现。不同的三维点群沿着各种各样的三维晶格重复组成了230种不同的空间群。三维物体也能够沿一维或二维晶格重复,分别产生杆群(rod group)或图层群(layer group)。

  分形(Fractals)

  第四种变换——缩放(scaling)下的不变性也同样重要。直径保持几何增长的同心圆在缩放下保持不变。当一个物体在平移、反射、旋转和缩放的特定组合下保持不变,我们就把这种新图案称作分形。

  Figure 5如果我们把上图向内和向外延伸至无穷,则科赫曲线(Koch curve)在特定的平移,旋转和缩放变换下保持不变。

  原文地址:

  来源:赛先生

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